Cálculo en Fenómenos Naturales y Procesos Sociales: QUINTA SEMANA DE ACTIVIDADES

SINDICATO NACIONAL DE TRABAJADORES DEL SEGURO SOCIAL

COMISIÒN NACIONAL DE CAPACITACIÒN TÈCNICA Y SUBPROFESIONAL

CENTRO NACIONAL DE EDUCACIÒN CAPACITACIÒN SINDICAL.

CÁLCULO EN FENÓMENOS NATURALES Y PROCESOS SOCIALES.

Plan de Trabajo de la quinta semana

EXAMEN FINAL

Propiedades de las integrales definidas

Competencia.- Estás trabajando en emplear la antiderivada y el Teorema Fundamental del Cálculo para realizar estimaciones sobre el comportamiento de un fenómeno natural y/o proceso social que se presente en el entorno para conocer su curso de acción o trayectoria. También para realizar el análisis de un fenómeno natural y/o proceso social aplicando los conceptos de diferencial, antiderivada, Teorema Fundamental del Cálculo y derivada para realizar estimaciones de su comportamiento, y procesar la información en forma de tablas y gráficas, igualmente para explicar de manera objetiva la variación de los fenómenos naturales y los procesos sociales con ayuda del Teorema Fundamental del Cálculo a fin de realizar estimaciones y/o predicciones de ciertas situaciones de tu vida cotidiana cuando se conoce su derivada.

Definición de dos integrales definidas especiales:

a
1.- Si la función f se define en x = a, entonces ∫ f(x) dx = 0
α
b a
2.- Si la función f es integrable en [ a, b ], entonces ∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx
a b
La integral definida, se define como el límite de una suma, hereda las propiedades de la sumatoria enunciadas en la sección anterior.

Propiedades de las integrales definidas.

Si f y g son dos funciones integrables sobre [ a, b ] y K es una constante, entonces las funciones
K f y f 士 g son integrables sobre [ a, b ], de donde:

  b b
1.-     ∫ K f(x) dx = K   ∫ f(x) dx
       a     a

b b b
2.-   ∫ [ f(x) + g(x) ] dx =    ∫ f(x) dx +   ∫ g(x) dx
a   -   a   - a

Esta segunda propiedad puede ampliarse con el fin de abarcar cualquier número finito de funciones.

ACTIVIDAD 27

Después de leer y analizar detenidamente las dos propiedades anteriores, resuelve lo que se te pregunta en las páginas 147 y 148 de tu libro de texto. ¡ Tu puedes porque eres el mejor ! :).

El Teorema Fundamental del Cálculo           (conexión de las operaciones inversas)

  Hasta aquí se han presentado las dos partes principales del Cálculo:

1.- El Cálculo diferencial.- introducido en la primera unidad con la velocidad instantánea y el problema de la recta tangente.

2.- El Cálculo integral.- introducido en esta unidad a partir de la distancia que recorre un móvil con velocidad no constante y el problema del área.
La conexión entre los dos problemas anteriores es a través del Teorema Fundamental del Cálculo, el cual señala que la derivación e integración (definida) son operaciones inversas, en el mismo sentido que lo son la división y la multiplicación.
Cuando se define la pendiente de la recta tangente, se usa el cociente
Ay / Ax ( pendiente de la recta secante). De igual forma cuando se define el área de una región bajo la curva se utiliza el producto Ay Ax (área de un rectángulo).

Representación de una antiderivación  (una familia de funciones)   ∫ f(x) dx
b
Representación de una integración definida ( un número )   ∫ f(x) dx
  a

ACTIVIDAD 28

Elabora un ensayo de máximo 2 cuartillas en donde expliques si el símbolo ∫ se uso primero para denotar la antiderivación o para la integración definida. explica tu razonamiento y justifica tu respuesta. utilizando la bibliografía sugerida al final del libro o consultando internet. ¡ Tu puedes porque eres el mejor ! :).

Teorema Fundamental del Cálculo

Si una función f es continua en Xo ∈ [ a, b ], entonces G(x) = ∫ f(t) dt, es derivable en Xo y G ' (Xo) = f (Xo). a

Cálculo de integrales definidas mediante el Teorema Fundamental del Cálculo.

EJEMPLOS: A partir del Teorema Fundamental del Cálculo encontrar:

3 3 4 4 4

∫ t dt = t = (3) - (2) = 81 - 16 = 65

2 4 4 4 4 4 4

Corolario del Teorema Fundamental del Cálculo (TFC), también llamado Segundo Teorema Fundamental del Cálculo.

Sea f una función continua en el intervalo [ a, b ] y la función g(x) una antiderivada de f,

b
es decir, satisface g ' (x) = f(x), entonces ∫ f(x) dx = g(b) - g(a)

Ejemplo: Utilizando el corolario del Teorema Fundamental del Cálculo, evalúa la integral

3 3 4 4 4

∫ x dx , entonces g(x) = X en consecuencia ∫ x dx = g(3) - g(2) =
2 4 4 4
4 4
(3) - (2) = 81 - 16 = 65/4

ACTIVIDAD 29

Realiza los siguientes ejercicios como el ejemplo anterior, utilizando el corolario del Teorema Fundamental del Cálculo. ¡ Tu puedes porque eres el mejor ! :).

4 2

1.- ∫ 2x dx =
1

2.- ∫ 3x dx =

5 3

3.- ∫ 4x dx =

4 5
4.- ∫ x dx =
3

Como obtener la distancia total de una partícula

ACTIVIDAD 30

Después de ver los dos vídeos anteriores, resuelve los problemas 8, 9 y 10 de tu libro de texto, ¡Recuerda que tu puedes, porque eres el mejor!

Integración por sustitución

Técnicas de integración de funciones compuestas

El análisis se divide en dos partes:

1.- Patrón de reconocimiento y cambio de variable.

ambas técnicas comprenden una sustitución a partir del uso de una variable (u)

Con el patrón de reconocimiento se hace la sustitución mentalmente

Con el cambio de variables se escriben los pasos de la sustitución.

La importancia de la sustitución como técnica de integración es comparable con la regla de la cadena en la derivación.

Antiderivación de una función compuesta

Sea g una función cuyo rango es un intervalo I, y sea f una función continua sobre I. Si la función g es derivable de su dominio y F es una antiderivada de f sobre I, entonces ∫ f ( g(x) ) g' (x) dx = F ( g(x) ) + C.

Si la función u = g(x), entonces du = g' (x) dx y ∫ f(u) du = F(u) + C

Investigación de reconocimiento de patrones.

Ejemplos: Reconocimiento del patrón f ( g(x) ) g' (x).

2 2 2 3

∫ 2x ( x + 1 ) dx = 1 (x + 1 ) + C

  3
al definir
2

g (x) = x + 1 se obtiene g' (x) = 2x

∫ 5 cos (5x) dx= sen (5x) + C

g(x) = 5x

g' (x) = 5

El integrando de cada una de las siguientes integrales se ajusta al patrón
f ( g(x) ) g' (x). Identifica el patrón y aplica el resultado para evaluar cada integral.

ACTIVIDAD 31

Resuelve las siguientes integrales después de haber visto los dos vídeos anteriores, de acuerdo con la solución del ejemplo de reconocimiento de patrón f ( g(x) ) g' (x) ¡ Tu puedes porque eres el mejor !

2 2

a) ∫ 2x (x + 1 ) dx =

2 3x + 1

b) ∫ 3x √ x dx =

c) ∫ sec (x) ( tag(x) + 3 ) dx =

Las siguientes tres integrales son similares a las anteriores. el objetivo entonces es mostrar cómo se puede multiplicar y dividir entre una constante para evaluar este tipo de integrales.

Resuelve las siguientes integrales de acuerdo con la solución del ejemplo . considerando la regla de la constante multiple. ∫ k f (x) dx= k ∫ f(x) dx. Recuerda que debes entregarlos en hoja anexa. ¡Tu puedes porque eres el mejor ! :)

Muchos integrandos incluyen la parte esencial (la parte variable) de g'(x), pero en ocasiones carecen de una constante múltiple. En tales casos es posible multiplicar y dividir entre la constante múltiple necesaria, como se muestra a continuación.

Ejemplo de multiplicación y división entre una constante.En estos casos que nos falta el coeficiente (2) de x en la derivada, multiplicamos a x por 2 y dividimos por 1/2

2 2 2 2

Determinar ∫ x ( x + 1 ) dx= ∫ 1 (2x) (x + 1 ) dx =

2 2 2 3 2 3

1 ∫ 2x ( x + 1 ) dx = 1 . 1( x + 1 ) + C= ( x + 1) + C

2 2 3 6

g(x) = x + 1 ⇒ g' (x) = 2x

ACTIVIDAD 32

Resuelve las siguientes integrales después de haber visto los dos vídeos anteriores, y los ejemplos resueltos de multiplicación y división de una constante.

2 4

d) ∫ x ( x + 1 ) dx =

2 3

e) ∫ x √ x + 1 dx =

f) ∫ 2 sec (x) ( tag (x) + 3 ) dx =

Integrales con cambio de variable.

Esta técnica es muy útil cuando se trabaja con integrandos complicados en álgebra.
la técnica de cambio de variable usa la notación de Leibniz para la derivada, es decir, si u = g(x), entonces du = g' (x) dx, y la integral del Teorema toma la siguiente forma:

∫ f (g(x)) g' (x) dx = ∫ f (u) du = F (u) + C

Cambio de variables en una integral indefinida

1/2

Encontrar ∫√ 2x - 1 dx = ∫ √ u (du) = 1/2 ∫ u du
2
3/2 3/2 3/2 3 = 1. 2 [ u ] + C = 2 u + c = (2x - 1) + c = √ (2x - 1)+ C

2 3 6 3 3

sea:
u = 2x - 1 ⇒ du = 2 dx ⇒ dx = du 2

Regla general de la potencia para la integración

Si g(x) es una función derivable, entonces ∫ [ g(x) ] g'(x) dx =

n+1

= [ g(x) ] + C n ≠ -1

n +1

n n+1 Si definimos u = g(x), entonces ∫ u du = u + C n ≠ -1

n + 1

Ejemplo: de Integración por sustitución y regla general de la potencia.

-2 -2+1 -1

a) ∫ dx = ∫ du = u du = u + C = - u + C = - 1 + c

2 2 -2+1 (x+1)
(x + 1) u

ACTIVIDAD 33

De acuerdo a lo anterior resuelve las siguientes integrales,. ¡ Tu puedes porque eres el mejor ! :)

a) ∫ dx

( 3x +4)

b) ∫ √ x + 2 dx

2 4

c) ∫ (x + 3) dx

3 4

d) ∫ x √ x + 2 dx

Cambio de variable para integrales definidas

Cuando se utiliza la sustitución u con una integral definida, a menudo es conveniente determinar los límites de integración para la variable u en lugar de convertir la antiderivada otra vez a la variable x y evaluar la función en los límites originales.

Este cambio de variable se expresa explicitamente en el siguiente teorema.

Si la función u = g(x) tiene una derivada continua sobre el intervalo cerrado [a,b] y la función f es continua en el rango de la función g, entonces:

b g(b)

∫ f( g(x) ) g' (x) dx = ∫ f (u) du

a g(a)

Cambio de variable en una integral definida.

Ejemplo 1:

1 2 3
∫ x ( x + 2 ) dx

Solución Sea u = x + 2
du = 2x dx , ⇒ x dx = du

antes de sustituir hay que determinar los nuevos límites de integración:
2
Límite inferior es cuando X = 0 ⇒  u = 0 + 2 = 2
  2
Límite superior es cuando x = 1, ⇒ u = 1 + 2 = 3

a continuación se sustituyen valores:
  1 2 3 1 2 3 3 3 4 3 4 4
∫ x ( x + 2 ) dx = 1 ∫ (  x + 2 ) (2x) dx = 1  ∫ u du = 1[ u ] │ = 1/2 [  3 - 2 ] =
o   2   o      2   2    2 4   2    4 4

= 1 [ 81  - 16 ] = 65/4
  2 4 4

Ejemplo 2:
2
∫ dx =

1 2x

u = 2x , du = 2dx, ⇒ dx = du

Determinar los nuevos límites de integración:

Límite inferior cuando x = 1, se tiene que u = 2 (1) = 2

Límite superior cuando x = 2, se tiene que u = 2(2) = 4

Sustituimos valores:

2 2 4 4

∫ dx = 1 ∫ dx = 1 ∫ du = 1 [ In u ] = 1 ( In 4 - In 2 ) =
1 2x 2 1 x 2 2 u 2 2 2
1/2 ( 1.386 - 0.693 ) = 0.346

Ejemplo 3:

5
∫ x dx
1 √ 2x - 1

u = √ 2x - 1, entonces al elevar al cuadrado y despejar x, tenemos:

2 2 2

u = 2x - 1 entonces u + 1 = 2x, esto implica que x = u + 1,
2
derivando ambos miembros:

dx = u du

Determinar los nuevos límites de integración:

Límite inferior cuando x = 1, se tiene que u = √ 2 ( 1 ) - 1 = 1

Límite superior cuando x = 5, se tiene que u = √ 2 ( 5 ) - 1 = 3

Sustituimos valores:

5 3 2 3 2 3 3
  ∫     x     dx =   ∫  1 ( u + 1 ) u du = 1 ∫ ( u + 1 ) du = 1/2 [ u + u ]丨 =
1 √ 2x - 1 1 u   2 2 1   3 1

1 ( 9 + 3 - 1 - 1 )= 1
  2 3 3

ACTIVIDAD 34

Después de haber estudiado los algoritmos de solución de los ejemplos anteriores, resuelve los siguientes ejemplos de cambio de variable en una integral definida.¡Tu puedes porque eres el mejor!

5 2

1.- ∫ 3x dx

4 3

2.- ∫ x(2x dx

0

Valor promedio y área comprendida entre dos curvas.

En esta unidad se analizó que el área de una región bajo una curva es mayor que la de un rectángulo inscrito y menor que la de un rectángulo circunscrito.

Teorema del valor medio para integrales

Este indica que en algún lugar "entre" el rectángulo inscrito y el circunscrito existe un rectángulo cuya área es precisamente igual a la de la región bajo la curva.

Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces existe

b

un número c en el intervalo [a, b] tal que ∫ f (x) dx = f (c) (b - a)

    a

Definición del valor promedio de una función sobre un intervalo.
Si la función f es integrable sobre un intervalo cerrado [a, b], entonces el valor promedio de f
  b
sobre dicho intervalo es   1      ∫ f (x) dx
b- a a

vídeo que trata sobre el valor promedio de una función en un intervalo

Cálculo del área de una región comprendida entre dos curvas

Si f  y g son dos funciones continuas sobre el intervalo cerrado [ a, b ]
y g (x) ≤ f (x), para todos los valores de x en [ a, b ], entonces el área de la región comprendida por las gráficas de f  y  g  y las rectas verticales x= a y x= b es:
     b
  A =  ∫ [ f (x) - g (x) ] dx =   ∫ f (x) dx -  ∫ g (x) dx

a

Aplicaciones de la integración a problemas diversos

Ejemplo 1: velocidad del sonido.

A diferentes altitudes en la atmósfera terrestre el sonido viaja a distintas velocidades. La velocidad del sonido s(x) en metros por segundo puede modelarse matemáticamente por:

   - 4x + 341,     0 ≤  x ≤ 11.5
295, 11.5 ≤ x ≤ 22
s (x) = 3/4 x + 278.5,   22 ≤ x ≤ 32
3/2 x + 254.5, 32 ≤ x ≤ 50
- 3/2 x + 404.5 - 3/2 x + 404.5,

Donde x es la altitud en kilómetros.

La velocidad del sonido depende de la altitud, y el problema es determinar la velocidad promedio del sonido sobre el intervalon [ 0, 80 ], se descompone la integral en cinco partes.

11.5 11.5 2 11.5
  ∫ s (x) dx = ∫ (-4x + 341) dx = [ -2x + 341 x ] = 3657
  0 0 0
  22       22 22
∫ s (x) dx =   ∫ (295) dx = [ 295 x ] =  3097.5
11.5    11.5 11.5

  32 32 2 32
  ∫ s (x) dx = ∫ (3 x+ 278.5 ) dx = [ 3 x + 278.5 x ] = 2987.5
22 22   4 8 22

50 50 2 50
∫ s (x) dx = ∫ ( 3 x + 254.5 ) dx = [ 3 x + 254.5 x ] = 5688
  32 32   2 4   32

80 80 2 80
   ∫ s (x) dx = ∫ ( - 3 x + 404.5 ) dx = [ - 3 x + 404.5 x ] = 9210           50 50 2 4 50

Sumando los cinco valores de las integrales obtenemos:

80
∫ s (x) dx = 24, 640
  0
por lo tanto la velocidad promedio del sonido desde una altura de 0
    80
hasta 80 kilómetros es : 1     ∫ s (x) dx = 24, 640  = 308 m/seg.
80   0   80

Aplicación del Cálculo integral en fenómenos naturales y procesos sociales.
Construcción de presas de arco

ACTIVIDAD 35

Después de ver y analizar el problema anterior así como los vídeos correspondientes, Resuelve el problema de tu libro de texto de la página 178

a través de la integración, ¡ tu puede porque eres el mejor!

Cálculo en Fenómenos Naturales y Procesos Sociales

viernes, 15 de enero de 2021

QUINTA SEMANA DE ACTIVIDADES