Cálculo en Fenómenos Naturales y Procesos Sociales: SEGUNDA SEMANA DE ACTIVIDADES

SINDICATO NACIONAL DE TRABAJADORES DEL SEGURO SOCIAL

COMISIÒN NACIONAL DE CAPACITACIÒN TÈCNICA Y SUBPROFESIONAL

CENTRO NACIONAL DE EDUCACIÒN CAPACITACIÒN SINDICAL.

CÁLCULO EN FENÓMENOS NATURALES Y PROCESOS SOCIALES.

Plan de Trabajo de la segunda semana

PRIMER EXAMEN PARCIAL

LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

(Principales y secundarias)

Las funciones trigonométricas principales son: (Sen x), (cos x), y (tag x), donde

la función seno está definida por sen: R→[-1,1}, es decir, el dominio de la función seno es el conjunto de los números reales y la imagen es el intervalo [-1,1}. Además tiene amplitud 1 y tiene un período igual a 2π,

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO

(f(x) = sen x )

La función coseno está definida por Cos: R → (- 1, 1), es decir, el dominio de la función coseno es el conjunto de los números reales y la imagen es el intervalo ( -1, 1). además tiene amplitud de 1 y es de periodo 2π.

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO

f(x) = cos (x)

La función tangente está definida por tg: R \ { (2K + 1) π / K ε Z } → R

2
con amplitud no definida y de período π. En otras palabras, el dominio es el conjunto de los números reales sin contemplar los múltiplos enteros impares de π, y la imagen son todos los reales. f(x) = tg (x). 2

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE
f(x) = tan (x)

Las funciones trigonométricas secundarias son: cosecante, secante y cotangente, las cuales son funciones recíprocas de las funciones principales, donde:

Csc (x) = 1 , Sec (x) = 1 , Cot (x) = 1
sen (x) cos (x) tg (x)

Función valor absoluto

Se define de la siguiente manera f (x) = /x/, donde el valor absoluto se define mediante la ecuación:

- x, x＜0

/x/ = x, x ≥ 0

ACTIVIDAD 8

Después de ver el vídeo resuelve las siguientes funciones de valor absoluto

1.- / x -3 / ≥ 0

2.- / 2x - 4/ ≥ 0

La función escalonada.- Cuando utilizamos un taxi para transportarnos el precio por el servicio queda establecido por el taxímetro. Para simplificar la situación, supongamos que el precio varía únicamente a partir del tiempo transcurrido, entonces la gráfica que representa la variación con respecto del costo por el servicio se observa en la siguiente figura-

Función escalonada

Función raíz cuadrada

Cuando tratamos con ecuaciones y funciones cuadráticas en ocasiones es necesario
   2 2
eliminar el exponente de la incógnita o variable x. Si x = 16 entonces ✓ x = + ✓16 ⇒
-
x = + 4
   -
Lo anterior nos lleva a interpretar la función raíz cuadrada: f(x) =  ✓ x , definida para toda 2
x positiva o igual a cero (x ≥ 0), como una función inversa de g(x) = x

Función exponencial y logaritmo natural
x x
f(x) =e y g(x) = ln x, donde la función exponencial f(x) = e , se define f: R➡️(0, ∝ ) y en donde e =2.7182818284... a este número trascendente e irracional por naturaleza, se le conoce como el número de Euler en honor al matemático físico suizo Leonhard Euler (1707 - 1783). una definición común del número de Euler a partir del concepto de límites es: n
e = lim (1 + 1)
n➡️∝ n

La función logaritmo natural (que es una función inversa de la exponencial), g(x) = ln x, se define
x
mediante g: (0, ∝ ) ➡️ R, y en donde se cumple que ln(e ) = x, o de forma equivalente:
ln(x)
e = x, para toda x > 0. El logaritmo de un número x, es el exponente y, al cual hay que elevar la base para obtener x.

ACTIVIDAD 9

Después de haber estudiado las páginas 47 a la 56 de tu libro de texto y ver los vídeos correspondientes, resuelve los siguientes ejemplos de funciones de la página 56, tu puedes, recuerda que eres el mejor.

CONSTRUCCIÓN DE LA RECTA TANGENTE A UNA CURVA, RAZÓN INSTANTÁNEA DE CAMBIO Y LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

Competencia.- Estás trabajando para emplear técnicas desarrolladas en la geometría elemental y la analítica, tales como la obtención de la pendiente de una recta a partir de dos puntos dados o empleando triángulos rectángulos, para obtener las rectas tangentes a un punto dado en una curva que describa a los fenómenos y/o procesos estudiados de manera autónoma y sistemática. también para argumentar el comportamiento de los fenómenos naturales y procesos sociales que inciden en tu vida cotidiana, empleando el concepto de razón de cambio, métodos para obtener la recta tangente a un punto de la curva, para reconocer la variación de una función (creciente o decreciente), manteniendo una actitud participativa, sistemática y reflexiva.

El concepto de límite y de derivada de una función se deducen a partir del análisis de los comportamientos y cambios intrínsecos en la naturaleza, el problema de la construcción de rectas tangentes a curvas arbitrarias, está íntimamente ligado con el problema de la determinación de la velocidad instantánea de un móvil problema ya estudiado, así mismo dio origen a la derivada de una función y por consiguiente a una de las herramientas más poderosas de las matemáticas, el llamado cálculo diferencial.

Descripción de la pendiente de la recta tangente a una curva, la derivada.

La derivada de una función.- es una de las herramientas más poderosas de las matemáticas y las ciencias aplicadas. la definición de la derivada se puede abordar desde dos formas diferentes, la primera es geométrica (como la pendiente de la recta tangente a una curva) y la segunda es a partir de una aplicación física (como una tasa o razón instantánea de cambio)

Primera.- Análisis de la derivada de manera geométrica (pendiente de la recta tangente a un punto de la función)

La recta tangente a una curva es aquella que solo la toca en un punto y es la derivada de la función.

ACTIVIDAD 10

Busca ejemplos de la recta tangente a una curva aparte de los mostrados en las páginas 59 y 60 de tu libro de texto. tu puedes.

Asímismo se tiene que: mtg = lim( msec ) = lim f(x+Ax) - f(x)
A →0 Ax
siempre que el límite exista.

La derivada de una función. Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene al punto x. la derivada de f en x, se escribe f ' (x), y esta dada por f ' (x) = lim f(x+Ax) - f(x)

A →0 Ax

el símbolo f ' (x) se lee: f prima de x. la terminología f ' (x) existe, significa que el límite existe, se dice que la función f es diferenciable en x, o bien que la función f tiene derivada en x.

Para determinar la ecuación de la recta tangente a una curva arbitraria se debe recordar que la ecuación de la recta, o función lineal, tiene la siguiente forma: Y = f(x) = mx + b

donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada al origen.

La derivada de una función representa la pendiente de la recta (m) que es tangente a la curva de dicha función en cierto punto.

Segunda.- Análisis de la derivada como una tasa o razón instantánea de cambio.

Consideremos una función arbitraria. si el eje x representa la distancia y el eje y el tiempo, la velocidad es igual a la distancia entre el tiempo. Interpretación:

La velocidad media es el cambio de la distancia cuando varía el tiempo, en otras palabras representa un incremento en la distancia entre un incremento en el tiempo, es decir, se puede aplicar el mismo análisis anterior de los incrementos de la derivada. por lo tanto ésta se puede ver también como la velocidad instantánea de cualquier partícula en movimiento a lo largo de la gráfica de la función.

y esta es la interpretación física de la derivada de una función y nos da como resultado la pendiente de la recta tangente en cualquier punto de la curva.

Recta tangente.- la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (x, f(x) ) es f ' (x).

mtg = f ' (x)

La velocidad instantánea.- Si un punto p se mueve sobre una linea de tal forma que su coordenada en el tiempo t es d(t), entonces la velocidad instantánea en el tiempo t es d' (t).

Vinstantánea = lim d( t + At ) - dt = d ' ( t )

At →0 At

Relación entre continuidad y diferenciabilidad de una función

El concepto de continuidad tiene en gran parte el mismo significado que en el uso cotidiano. decir que una función es continua en x = c, significa que no existe interrupción en la gráfica de f en c, es decir, su gráfica no se rompe en dos y tampoco hay agujeros, saltos o brechas.

Definición de continuidad.

Continuidad en un punto: Una función f es continua en c, si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1.- f (c ) está bien definida.

2.- lim x→ c f(c) existe

3.- lim x→ c f (x ) ≠ f( c )

continuidad sobre un intervalo abierto: una función es continua sobre un intervalo abierto (a, b) si es continua en cada punto del intervalo.
una función que es continua sobre la recta real (-∞, ∞ ), es continua en todas partes.

las discontinuidades se clasifican en dos categorías: evitables y no evitables o infinitas.

Se dice que una discontinuidad en c, es evitable, si f puede hacerse continua al definir (o volver a definir ) f (c) de manera apropiada como las funciones que se muestran en la página 64 de tu libro de texto 14 a y 14 c.

Se dice que una discontinuidad en c, es infinita o no es evitable, si f no puede hacerse continua al definir o (volver a definir) f (c) de manera apropiada, como la función que se muestra en la página 64 de tu libro de texto 14 b.

Estas trabajando para identificar el concepto de límite de una función al evaluar numéricamente funciones (lineales, cuadráticas, polinomiales, exponenciales y logarítmicas), que representen un fenómeno físico o proceso social como base para el análisis de éstos.

Continuidad sobre un intervalo cerrado.- Aquí existe un tipo de límite llamado lateral, el límite desde la derecha significa que x tiende a c, desde valores mayores que c. y se denota como: n

Lim

\sqrt{\ }

x = 0
x→c (+) (límite desde la derecha)

El límite desde la izquierda significa que x tiende a c desde valores menores que c, y se denota como:

lim f( x ) = L (límite desde la izquierda )   x→c (-)

La derivada de la función f en c   es f ' (c) = Lim   f( x ) - f ( c )   siempre que el límite exista.
  x→c x - c

ver la figura 15 en la página 66 de tu libro de texto. ( cuando el valor de x tiende al valor de c, la recta secante tiende a la recta tangente.)

Reglas básicas de la derivación y razones de cambio.

1.- Regla de la función constante.- La derivada de una función constante es igual a 0. Es decir, si C es cualquier número real, entonces:

f ' (C) = d [ c ] = 0

dx
ejemplo: si f (x) = 5 entonces f ' (x) = 0
Si y = 7 entonces y ' = 0
si f(x) = √ 12 ➡️f ' (x) = 0

ACTIVIDAD 11

Realiza los siguientes ejemplos: ¡recuerda que puedes porque eres el mejor.

a) f(x) = 10
b) f(x) = -3
c) f(x) = 6

2.- Regla de la función potencia.-
  n
   Si n es un número racional, entonces la función f(x) = X entonces:
    n-1
f '(x) = n X

    2
Si f(x) = 3x entonces f ' (x) = 6x
-2 -3
Si f(x) = - 1   entonces f (x) = - X ➡️   f '(x) = 2 X = 2      2 3
X X

ACTIVIDAD 12

Después de ver el vídeo resuelve las siguientes derivadas, aplicando la regla de la función potencia. tu puedes porque eres el mejor.

1/2

1.- f(x) = (3x)
2
2.- f(x) = ∛ 5x

3.- f(x) = √ x

4.- f(x) = 1
2x
-3
5.- f(x) = x

3.- Regla del múltiplo constante de una función.

Completa la tabla en la página 76 de tu libro de texto, así como las preguntas que se te hacen, Sustituyendo los valores que te dan y gráfica la función f (X) = 4X

Ejemplo: Utilizando la regla del múltiplo constante de una función deriva las siguientes funciones: siguiendo estos ejemplos resueltos:
   3   2
Si f (x) = 4x entonces f '(x) = 12 x
  -2 -3
si f(x) = 3     entonces f ' (x) = 3 X = - 6 x =   - 6
  2 3
x X
- 2/3    - 5/3
Si f (x) =   1     entonces f '(x) =    1     = 1  X = - 2 = - 1 X     = - 1
3   2      2/3 2 6 3   5/3
2

\sqrt{\ }

x 2 X 3 X

= - 1
3 5
3 $\sqrt{\ }$ x

ACTIVIDAD 13

Resuelve las siguientes funciones utilizando la regla del múltiplo constante. así mismo ve el vídeo correspondiente sobre su desarrollo y completa la tabla de la página 76 de tu libro de texto, así como las preguntas ¡ tu puedes por que eres mejor que todos! :)

-2
a) f(x) = - 5 X

b) f(x) = 4

\sqrt{\ }

x

c) f(x) = 3
3/4
2 X
1/2
d) f(x) = - 3 X
2
e) f(x) = 3

\sqrt{\ }

x

4.- Regla de la suma y diferencia de funciones.

La suma o la resta de dos funciones diferenciables es diferenciable y la derivada de la suma es la suma o resta de sus derivadas.

si d/dx [ f (x) + g (x) ] = f ' (x) + g' (x)

- -

Ejemplo:

2 3 2

a) Si f(x) = 3X - 5X + 6 entonces f ' (x ) = 6 X - 15 X

4 2 3

b) Si f(x) = 3X - 2x - 2 entonces f ' (x) = 6 x - 4x

ACTIVIDAD 14

Utilizando la regla de la cadena, resuelve las siguientes funciones. ¡ tu puedes porque ere el mejor de todos!

3 2

1.- Si f (x) = - 4x + 7 x - x, entonces la derivada es:

-2 2

2.- Si f (x) = - 2 x - 5 x + 4

4 -2

3.- Si f (x) = 3 x - 5 x + 2 x +8

-2 -1

4.- Si f (x) = x - 4x + 9

1/2 -1/3
5.- Si f (x) = 2x - 4x + 2

Cálculo en Fenómenos Naturales y Procesos Sociales

viernes, 15 de enero de 2021

SEGUNDA SEMANA DE ACTIVIDADES