SINDICATO NACIONAL DE TRABAJADORES DEL SEGURO SOCIAL
COMISIÒN NACIONAL DE CAPACITACIÒN TÈCNICA Y SUBPROFESIONAL
CENTRO NACIONAL DE EDUCACIÒN CAPACITACIÒN SINDICAL.
CÁLCULO EN FENÓMENOS NATURALES Y PROCESOS SOCIALES.
Plan de Trabajo de la cuarta semana
TERCER EXAMEN PARCIAL
UNIDAD 2
LA DERIVADA EN LA EXPLICACIÓN DE LOS FENÓMENOS NATURALES Y PROCESOS SOCIALES.
COMPETENCIA.- El propósito de esta unidad se centra en explicar en forma objetiva, integral y precisa el comportamiento de los fenómenos naturales y procesos sociales propios de tu entorno, por medio de la aplicación de la derivada, la diferencial, la antiderivada y el Teorema Fundamental del Cálculo, para realizar predicciones de éstos en tiempos definidos e identificar su impacto en el entorno.
Dinámica poblacional, un fenómeno que incita al cálculo.
Se va a trabajar para predecir el comportamiento de un fenómeno natural y/o proceso social a partir de un modelo matemático que lo representa (función logarítmica, exponencial o polinomial), empleando las propiedades y leyes de la derivada al momento de aplicarla, tales como un cociente, producto, función compuesta de las funciones indicadas anteriormente, para explicar su presencia en el entorno en un contexto y tiempo determinados.
En el siglo pasado, México cambió de ser un país rural a un país urbano, Las entidades federales predominantemente urbanas son: Distrito Federal, Nuevo León, Baja California, y Coahuila, en contraste Oaxaca, Chiapas e Hidalgo, menos de la mitad de la población habita en localidades urbanas.
En 1900 había poco más de 13 millones de habitantes en México, para el año 2000 casi se alcanzaron los 100 millones, y según el INEGI en 2005 la población era de 103,3 millones de habitantes.
La solución del modelo exponencial es precisamente el tema central de esta unidad y para determinarla necesitamos construir la herramienta matemática y propia del cálculo que responda a la siguiente pregunta obligada, ¿ Cómo determinar la población P(t) a partir de la razón instantánea de cambio dP ? Es decir,
dt hablando del proceso inverso que estudiamos en la primera unidad, determinar la función cuya derivada sea el crecimiento instantáneo de la población. Más adelante en esta unidad se describe a partir del concepto de movimiento, eje rector del libro, la construcción y desarrollo de tan importante herramienta matemática denominada antiderivada o integral indefinida.
Pirámide poblacional en México
ACTIVIDAD 22
Después de leer tu libro de texto en las páginas 113, 114 y 115 y ver el vídeo, contesta las preguntas que se te piden en las páginas 115, 116 y 117 ¡ Tu puedes porque eres el mejor ! :)
Los orígenes del cálculo integral se remontan a los cálculos de áreas y volúmenes que Arquímides de Siracusa (287- 212 a.C) realizó en el siglo III antes de nuestra era. Aunque hubo que esperar cerca de 2000 años hasta el siglo XVII para que se descubriera el cálculo. La derivada y la integral de una función fundamentan las bases del cálculo infinitesimal.
Antiderivada o integral indefinida
Competencia.- Estás trabajando para identificar la antiderivada (integral) como la operación inversa de la derivada, como resultado de la aplicación del Teorema Fundamental del Cálculo para describir responsablemente la variación de un fenómeno físico o proceso social.
La distancia recorrida por un móvil con velocidad no constante
El concepto de la integral se puede deducir de la necesidad de encontrar respuestas a fenómenos vinculados con el movimiento de los cuerpos.
En la primera unidad determinamos la velocidad instantánea de proyectiles en caída libre a partir de la función distancia.
En esta segunda unidad vamos a determinar la distancia recorrida por un proyectil en caída libre a partir de la velocidad no constante, hablamos de la operación inversa de la derivación, a la cual llamaremos integración o antiderivación
Antiderivadas
Se pide encontrar una función (distancia) G, cuya derivada (velocidad instantánea)
2
es: f(x) = 3x.
2
es: f(x) = 3x.
3 2
Se deduce que G(x) = x, en virtud de que la derivada es g' (x) = 3x, es decir g'(x) = f(x)
LA FUNCIÓN G es una antiderivada de f
LA FUNCIÓN G es una antiderivada de f
Nota.- Para encontrar la antiderivada de una función f(x), se hace lo siguiente:
2Si f(x) = 4x, entonces f ' (x) = 8x
Para llegar a encontrar la función primaria f(x), se hace lo siguiente: como en la derivada se le resta uno al exponente, en la antiderivada se le suma uno al exponente y se multiplica la función por su inverso.
2 2
Si f '(x) = 8x entonces f (x) = 1.8x = 4x
2
3 2
Si f (x) = 2x entonces la derivada es f '(x) = 6x
2 3 3
Si f '(x) = 6x, entonces f(x) = 1 .6x = 2x
3
ACTIVIDAD 23
De acuerdo a los ejemplos anteriores, resuelve los ejercicios que se te piden en la página 120 de tu libro de texto, así como los siguientes ¡ Tu puedes porque eres el mejor! :) Nota. te están dando la derivada y tienes que obtener la función original.
3
a) f ' (x) = 4x
5
b) f '(x) = -2 x
4
c) f '(x) = 3x
2
d) f ' (x) = 8x
Notación para las antiderivadas
Cuando se resuelve una ecuación diferencial de la forma dy = f(x) y su forma diferencial equivalente es dy = f(x) dx dx
La operación de encontrar todas las soluciones de esta ecuación se llama antiderivación ( o integral indefinida) y se indica con el signo de integral ∫. la solucion general se denota por:
y = ∫ f(x) dx = F(x) + C Esta expresión significa que F es una antiderivada de f sobre un intervalo.
donde:
f(x) = integrando
∫ f(x) dx = se lee como la antiderivada de f con respecto a x.
dx = diferencial, sirve para identificar a x como la variable de integración.
Ejemplo:
Se lanza verticalmente una pelota hacia arriba despreciando la resistencia del aire, con una velocidad inicial de 49 metros/seg. desde una altura inicial de 10 metros .
a) Determinar la función distancia d(t) que describe el movimiento de dicho proyectil en función del tiempo.
b) Encontrar la altura máxima que alcanza la pelota sobre el nivel del suelo y en qué tiempo sucede esto.
Solución:
Datos:
Vo = 49 m/seg. velocidad inicial (derivada)
do = ho = 10 m (altura incial)
2
g = -9.8 m/s (aceleración debido a la gravedad)
2 2
d(t) = 1 gt + Vo T + do d(t) = 1 (-9.8) T + 49 T + 10
2 2
FUNCIÓN DISTANCIA PEDIDA
2
d(t) = -4.9 T + 49 T + 10
obtención de la derivada
d '(t) = -9.8 t + 49 si d '(t) = 0
0 = -9.8 t + 49
9.8 t = 49
t = 49
9.8
t = 5 seg.
Sustituyendo t = 5 en la función distancia d(t) 2
d(t) = -4.9 T + 49 T + 10
tenemos:
2
d(5) = -4.9 (5) + 49 (5) + 10
= -4.9 (25) + 245 + 10
= - 122.5 + 255
d(5) = 132.5
La función distancia que describe la posición de la pelota en todo instante t, esta dada por:
2
d(t) = - 4.9 t + 49 t + 10
d(t) = - 4.9 t + 49 t + 10
Se utiliza la primera derivada igualándola a cero,
d '(t) = -9.8 t + 49 = 0 y representa geometricamente una recta tangente a la curva d(t) con pendiente cero, en que tiempo la pelota alcanza su altura máxima.
9.8 t = 49
t = 49
9.8
t = 5 seg.
y se sustituye este valor en la función distancia
2
d(t) = -4.9 T + 49 T + 10
2
d(5) = -4.9 (5) + 49 (5) + 10
= -4.9 (25) + 245 + 10
= - 122.5 + 255
d(5) = 132.5 metros, es la altura máxima.
Reglas básicas de la integración
Competencia.- Estás trabajando en emplear la antiderivada y el Teorema Fundamental del Cálculo para realizar estimaciones sobre el comportamiento de un fenómeno natural y/o proceso social que se presente en el entorno para conocer su curso de acción o trayectoria. También para aplicar los conceptos y procedimientos para la obtención de la derivada, antiderivada y del Teorema Fundamental del Cálculo para explicar los cambios en tu entorno, a fin de que puedas realizar predicciones y estimaciones de manera oral o escrita de manera responsable y propositiva.
También para identificar la antiderivada o integral como la operación inversa de la derivada, resultado de la aplicación del teorema fundamental del cálculo para describir responsablemente la variación de un fenómeno físico o proceso social.
FÓRMULAS DE LA INTEGRACIÓN
página 125 del libro de texto.
∫ dx = x +C
∫ k dx = k ∫x + C
∫ k f(x) dx = k ∫ f (x) dx
∫ ( f(x) + g(x) )dx = ∫ f (x) dx + ∫ g(x) dx
Ejemplos:
- -
∫ dx = ∫ 1 dx = x +C 2
∫ (3x - 5) dx = ∫3x dx - ∫5dx = 3 ∫x dx - 5 ∫dx = 3x - 5x + C
Ejercicios de integración o antiderivadas.
página 125 del libro de texto.
∫ dx = x +C
∫ k dx = k ∫x + C
∫ k f(x) dx = k ∫ f (x) dx
∫ ( f(x) + g(x) )dx = ∫ f (x) dx + ∫ g(x) dx
Ejemplos:
- -
∫ dx = ∫ 1 dx = x +C 2
∫ (3x - 5) dx = ∫3x dx - ∫5dx = 3 ∫x dx - 5 ∫dx = 3x - 5x + C
2
5 3 5 3 6 4 2 6 4 2
∫ ( -4x + 2x - x) dx = -4 ∫ x dx + 2 ∫ x dx - ∫ x dx = -4 x + 2 x - x + C = - 2x + x - x + C
6 4 2 3 2 2
Ejercicios de integración o antiderivadas.
ACTIVIDAD 24
Después de analizar las fórmulas de integración de tu libro de texto, así como los ejemplos realizados, y ver el vídeo correspondiente, contesta los ejercicios siguientes y los que se te piden en las páginas 126, 127 y 128. ¡ Tu puedes porque eres el mejor!
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
El área bajo la curva y el concepto de integral definida
Competencia.- Estás trabajando para realizar el análisis de un fenómeno natural y/o proceso social aplicando los conceptos de diferencial, antiderivada, Teorema Fundamental del Cálculo y derivada para realizar estimaciones de su comportamiento, y procesar la información en forma de tablas y gráficas.
En la geometría euclidiana el rectángulo es una figura a que se le puede encontrar el área sin tantas complicaciones. Donde la definición del área de un rectángulo es a= bh (base por altura), como se muestra en la figura.
A D
5B 9 C
ÁREA DEL RECTÁNGULO a = (BC)(CD) = (9)(5)= 45
A partir de esta definición es posible obtener el área de cualquier región en el plano cuya frontera esté comprendida por linea rectas. Por ejemplo el área de un triángulo puede formar un rectángulo cuya área es el doble de la del triángulo. Una vez que se conoce la forma de encontrar el área de un triángulo, se puede determinar el área de cualquier polígono subdividiéndolo en regiones triangulares.
ACTIVIDAD 25
Después de leer tu libro de texto en la página 130 sobre " el motor rotatorio de Wankel y el problema del área. " , Contesta las preguntas que se te piden en la página 131, asimismo lee las páginas 136 y 137 y contesta la preguntas que se te piden en la página 137, ¡ Tu puedes porque eres el mejor ! :
Definición de la integral definida de una función.
Sea f una función que está definida en un intervalo cerrado [ a,b ]. La integral definida b
de la función f desde el extremo a hasta b, denotada por ∫ f(x) dx, es la siguiente:
a
b n-1
∫ f(x) dx = lim [ ∑ f(x1) Ax ] = lim [ ∑ f(xi) Ax ] =
a n
oo i =0
oo i =0
n
= lim [ ∑ f(xi) Ax ] =
noo i =1
oo i =1
= lim [ ∑ f(x1) Ax1 ] siempre que el límite exista.
/A/o i
o i
Si la integral definida de f desde a hasta b existe, entonces se dice que f es integrable sobre el intervalo cerrado [ a,b ], y por ende se afirma que la integral existe al menos en dicho intervalo. El símbolo ∫ es el signo de la integral (primera letra de la palabra suma). El número a y b son los límites de integración, inferior y superior respectivamente. la expresión f(x) se llama integrando , el símbolo del diferencial dx, está asociado con el incremento Ax y cuya longitud se denota mediante //A//.
Integral definida.-Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.
La gráfica representa la integral definida del área bajo la curva descrita por la función f(x).
La notación para las integrales definidas es similar a la que se usa para las integrales indefinidas, en la siguiente sección se dirá el por qué de ello, cuando se analice el Teorema Fundamental del Cálculo. Las integrales definidas y las indefinidas son identidades diferentes.
Una integral definida es un número.
Una integral indefinida es una familia de funciones.
Evaluación de una integral definida como un límite.
1 1 2 1 2 2 2
Evalúa la integral definida ∫ 2x dx = 2 ∫ x dx = 2 x = l x = ( 1) - (-2) = 1 - 4 = -3
-2 -2 2 -2
En virtud de que la integral definida en el ejemplo anterior es negativa, no representa el área de la región descrita, las integrales definidas pueden ser positivas, negativas o cero. Para que una integral pueda indentificarse con el área de cierta región (como se definió al inicio de esta sección), la función f debe ser continúa y no negativa sobre el intervalo cerrado o definido [ a,b ].
2
Ejemplo: Determinar el área de la región acotada por la gráfica de f(x) = 4x - x, en el intervalo [ 0,4 ] Resultado = 32/ 3
2
Ejemplo: Determinar el área de la región acotada por la gráfica de f(x) = 4x - x, en el intervalo [ 0,4 ] Resultado = 32/ 3
ACTIVIDAD 26
Resuelve los ejemplos que se te piden a continuación, recuerda que debes entregarlos en hoja anexa. ¡Tu puedes porque eres el mejor ! :).
2
1.- Encuentra el área de la región acotada por la gráfica f(x) = x, en el intervalo
[ 0, 2 ]
3
2.- Encuentra el área de la región acotada por la gráfica f(x) = x, en el intervalo
[ 0, 1 ]
2
3.- Encuentra el área de la región acotada por la gráfica f(x) = 4 - x, en el intervalo
[ 1, 2 ]
2[ 0, 1 ]
2
3.- Encuentra el área de la región acotada por la gráfica f(x) = 4 - x, en el intervalo
[ 1, 2 ]
4.- Encuentra el área de la región acotada por la gráfica f(x) = 5x - x + 3
en el intervalo [ 1, 2 ]
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