Cálculo en Fenómenos Naturales y Procesos Sociales: TERCERA SEMANA DE ACTIVIDADES

SINDICATO NACIONAL DE TRABAJADORES DEL SEGURO SOCIAL

COMISIÒN NACIONAL DE CAPACITACIÒN TÈCNICA Y SUBPROFESIONAL

CENTRO NACIONAL DE EDUCACIÒN CAPACITACIÒN SINDICAL.

CÁLCULO EN FENÓMENOS NATURALES Y PROCESOS SOCIALES.

Plan de Trabajo de la tercera semana

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL

5.-Derivadas de las funciones seno y coseno

Si f (x) = sen (x), entonces f '(x) = cos (x)

Si f (x) = cos (x), entonces f '(x) = - sen (x)

Vídeo que muestra el desarrollo de la función seno

Video que muestra el desarrollo de la función coseno

ACTIVIDAD 15

Después de ver los vídeos anteriores, resuelve las siguientes funciones trigonométricas, recuerda que tu puedes porque eres el mejor!

1.- f(x) = Sen 5x

4 5

2.- f(x) = Cos (2x - 3x )

3.- f(x) = Cos (- 5x + 8)

3 2

4.- f(x) = Sen ( 3x - 2x )

6.- Regla del producto de funciones

El producto de dos funciones diferenciables f y g es, en si mismo diferenciable. y la derivada de f . g = a la primera función multiplicada por la derivada de la segunda función mas la segunda multiplicada por la derivada de la primera función.

d/dx = [ f(x) g(x)] = f(x) g' (x) + g(x) f ' (x)

ACTIVIDAD 16

Después de ver el vídeo, resuelve los siguientes ejercicios de derivadas de producto de funciones. ¡Tu puedes porque eres el mejor!

1.- f(x) = (3x + 6) ( 4x -6 )

3 2
2.- f(x) = ( 5x - 2x)( 4x + 8)

3.- f(x) = (3x -4)( 6x + 3)

3
4.- f(x) = ( 2x + 6)( 4x - 5)

7.- Regla de la derivada de un cociente de funciones

La derivada de f/g se expresa por el denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador.

Video que explica el desarrollo de un cociente de dos funciones

ACTIVIDAD 17

Después de ver el vídeo, resuelve los siguientes ejercicios de derivadas de cociente de dos funciones ¡ tu puedes porque eres el mejor!

1.- f(x) = 2x - 8x

4x

2
2.- f(x) = 6x + 3x
5x + 4

4
3.- f(x) = 4x
3x + 5

2
4.- f(x) = 3x + 9x
4x + 5

8.- Derivadas de las funciones trigonomètricas

ACTIVIDAD 18

Después de ver el vídeo, resuelve los siguientes ejercicios de derivadas de las seis funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, ¡ tu puedes porque eres el mejor!

a) f(x) = sen 3x

b) f(x) = cos ( 4x + 2 )

c) f(x) = tg ( 3x -5)

d) f(x) = cot 8x

f) f(x) = sec ( x + 3x)

g) f(x) = csc ( 4x- 6 )

Aplicación de la derivada en la solución de diversos problemas

Competencia.- Estás trabajando para seleccionar las funciones que deberás emplear en el análisis de los fenómenos naturales y procesos sociales objeto de estudio, para explicar, predecir y proponer alternativas de solución en relación al comportamiento de los mismos, mostrando una actitud reflexiva y analítica. También estás trabajando para utilizar la obtención de la derivada para formar una idea aproximada de la variación de la función de los fenómenos naturales y procesos sociales a fin de explicar y predecir situaciones o hechos de manera objetiva, propositiva, crítica y analítica en los problemas que se presentan en la vida diaria de nuestro entorno.

Problema.- Cambios en la cantidad de gases invernadero en la atmósfera en tiempos recientes. las mediciones directas de la concentración atmosférica de CO2 se han registrado desde 1958. desde aquel momento hasta hoy (visitar enlace recomendado) la concentración ha aumentado de 315 partes por millón a 380 ppm en 2006.
Si la concentración de dióxido de carbono en la atmósfera (índices de contaminación) se presenta por la función:

0.0013t + 3.17
f(t) = e , entonces la derivada de dicha función es el crecimiento instatáneo de la concentración de CO2 ( tasa de variación de los índices de contaminación) con respecto al tiempo.
A partir de la información anterior podemos utilizar el concepto de función para el análisis de la información del problema de la actividad 8; la función (modelo matemático) que presenta los índices de contaminación es la siguiente:

0.0013t + 3.17
f(t) = e , donde t es el tiempo en años y f(t) se mide en ppm (partes por millón).

ACTIVIDAD 19

Después de leer tu libro de texto en las páginas 85, 86, 87 y 88, y ver los vídeos que a continuación se muestran, resuelve el cuestionario que se te pide en las páginas 89 y 90. . ¡ tu puedes porque eres el mejor :) !

Recuerda la solución de la función potencial y logarítmica-
  K
Log M = K log M
   0.0013t + 3.17
Log f(t) = Log e

e= 2.71828 entonces Log e =0.4343

(0.0013t)(3.17) log e
(0.0013t)(3.17) (0.4343)

Comportamiento de funciones, puntos críticos, máximos y mínimos.

Competencia.- Estás trabajando para utilizar de manera sistemática el concepto de razón de cambio como medio de análisis del comportamiento de fenómenos naturales y procesos sociales presentes en el entorno. también para utilizar la obtención de la derivada para formar una idea aproximada de la variación de la función de los fenómenos naturales y procesos sociales a fin de explicar y predecir situaciones o hechos de manera objetiva, propositiva, crítica y analítica.

Un aspecto central en el análisis del comportamiento de las funciones tiene que ver con los conceptos de valores extremos, la concavidad, sus puntos críticos y si la función es creciente o decreciente.

Para ejemplificar y definir los conceptos más importantes en el comportamiento de funciones matemáticas consideraremos a continuación el planteamiento y solución de dos problemas que no solo incentivan la definición del concepto de derivada de una función, sino que en determinado tiempo motivaron el desarrollo tecnológico; su estudio permite describir los alcances de la aplicación directa del cálculo diferencial.

El primero de los problemas parte del estudio de la caída libre de un cuerpo o proyectil, fenómeno natural descrito en secciones anteriores. y se refiere al ejemplo 1 de la página 91 de tu libro de texto. (comportamiento de funciones. la altura máxima y la velocidad de impacto de un proyectil).

El objetivo es determinar la velocidad de impacto con el suelo y la altura máxima que alcanzará un proyectil lanzado verticalmente desde el nivel del piso con una velocidad inicial de 323.4 m/s.

Después de hacer su recorrido, ¿ se impactará el proyectil con el suelo a la misma velocidad con la que inició su recorrido?, ¿ o piensas que la velocidad de impacto con el suelo es mayor o menor a la velocidad inicial?

La ecuación de la función está dada por d(t) = - 4.9 t   + 323.4 t

en consecuencia su derivada es: d' (t) = - 9.8 t + 323.4
La derivada en cualquier punto de la curva descrita por la función, representa la velocidad instantánea del proyectil en todo tiempo.

  COMO  DETERMINAMOS LA ALTURA MÁXIMA QUE ALCANZA EL PROYECTIL

Hacemos la derivada igual a cero: d' (t) = - 9.8 t + 323.4
  d' (t) = o

-9.8t + 323.4 = 0
- 9.8 t = -323.4
t = -323.4
  - 9.8

t = 33 seg.

t= 33 seg. se sustituye en la función original para calcular la altura o distancia máxima.
2
d(t)= - 4.9 t   + 323.4 t
2
d(33)= -4.9 (33) + 323.4 (33)

d(33)= -5336.1 + 10,672.2

d(t) = 5336.1 mts. (Altura máxima que alcanza el proyectil)

Es decir el proyectil alcanza su altura máxima de 5336.1 metros en 33 segundos.

( 33, 5336.1 )

COMO DETERMINAMOS LA VELOCIDAD DE IMPACTO DEL PROYECTIL CON EL SUELO. ( VELOCIDAD INSTANTÁNEA )

Se utiliza la fórmula general de segundo grado

x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

2
Tomamos la función distancia del proyectil:   d(t) = - 4.9 t   + 323.4 t

a = -4.9 b = 323.4 c = 0
Sustituyendo valores en la fórmula general.
/-----------------------
/   2
t = -323.4 + / (323.4) - 4 (-4.9) ( 0 )
1,2   - 2(-4.9)

t = 0 t = 66 seg
  1     2

Finalmente se sustituye    t = 66 seg en la derivada de la función.    d' (t) = - 9.8 t + 323.4

d' (66) = -9.8 (66) + 323.4

d' (66) = -646.8 + 323.4

d'(66) = 323.4 seg. Esta es la velocidad instantánea o de impacto del proyectil con el suelo.

El segundo de los problemas hace referencia a un problema de optimización de recursos; maximizar el volumen de una caja.

Ejemplo 2. Comportamiento de funciones. el volumen máximo de una caja.

Un fabricante desea diseñar una caja de cartón sin tapa que contenga una base cuadrada a partir de una pieza de cartón de forma cuadrada cuyo lado es un metro. ¿ Cuáles son las dimensiones del diseño para producir una caja con el volumen máximo?

El área de la base de la caja está determinada por la función:

  2
A(x) = (1-2x)(1-2x) = (1-2x)

y la función que representa el volumen de la caja es:
2 2 2 3
V(x) = x (1-2x) V(x) = x(1-4x + 4x ) V(x) = x - 4x  + 4x
  3 2
V(x) = 4x - 4x + x (función volumen)
  2
Derivamos la función volumen V' (x) = 12x - 8x + 1

Esta función cuadrática se resuelve a través de la fórmula general de segundo grado, donde:

a = 12 b= - 8 c= 1

X1 = 1/2  m


X2 = 1/6 m

El volumen máximo de la caja se obtiene cuando el corte de cada esquina de la pieza cuadrada de cartón es X = 1/6 de metro, aproximadamente 16.6 centimetros. para obtener el volumen máximo en metros cúbicos, se sustituye este valor en la función volumen

3 2
V(x) =  4x - 4x + x

  3 2
V(x) =  4x - 4x + x
  3 2
V(1/6) = 4(1/6) -4(1/6) + 1/6
3
V(1/6) = .074074 = 74 cm

ACTIVIDAD 20

Después de leer tu libro de texto en la página 93, 94 y 95, y ver los vídeos correspondientes, resuelve las preguntas que se te piden en la página 108. ¡ Suerte tu puedes porque eres el mejor !

Definición de conceptos referentes al comportamiento de funciones y uso de la derivada.

Competencia.- Estás trabajando para reconocer de manera autónoma en un modelo matemático si el fenómeno y/o proceso descrito es continuo o presenta intervalos o valores en donde no lo es para representar su comportamiento en el entorno. También para utilizar de manera sistemática el concepto de razón de cambio como medio de análisis del comportamiento de fenómenos naturales y/o procesos sociales presentes en el entorno; y para utilizar la obtención de la derivada para formar una idea aproximada de la variación de la función de los fenómenos naturales y/o procesos sociales, a fin de explicar y predecir situaciones o hechos de manera objetiva, propositiva, crítica y analítica.

Problemas de optimización y aplicaciones de la derivada.

Considera la frecuencia con la que escuchas o lees términos como utilidad máxima, costo mínimo, tiempo mínimo, voltaje máximo, tamaño optimo o máximo, resistencia máxima y distancia máxima.

Estos problemas se llaman en general, Problemas de optimización. Una de las aplicaciones más comunes del cálculo incluye la determinación de valores máximo y mínimos de una función, y más aún, conocer para qué valores de la variable independiente se obtienen tales valores.

Un problema de optimización consiste en encontrar el valor mínimo o minimizar, o encontrar el valor máximo o maximizar, una cierta función de tal forma que satisfaga ciertas condiciones dadas.

Estrategia de resolución de problemas de optimización

1.- Identificación de variables.Asignar símbolos a todas las cantidades dadas y a las que se van a determinar. Cuando sea factible, realizar un esquema.

2.- Traducción de lenguaje común al lenguaje algebraico. Escribir una ecuación primaria para la cantidad que se desea maximizar o minimizar.

3.- Reducir la ecuación primaria a una que solo dependa de una variable. Esto puede comprender el uso de ecuaciones secundarias obtenidas a partir de los datos del problema que relacionen las variables independientes de la ecuación primaria.

4.- Determinar el dominio de la ecuación primaria. Es decir, determinar los valores para los cuales el problema planteado tiene sentido.

5.- Determinar el valor máximo o mínimo deseado por medio de las técnicas del cálculo explicadas con anterioridad. Al llevar a cabo este último paso, hay que recordar que para determinar el valor máximo, o el mínimo, de una función f continua sobre un intervalo cerrado, se deben de comparar los valores de f en sus puntos críticos con los que tenga en los puntos extremos del intervalo.

Aplicación de la derivada a problemas de optimización

ACTIVIDAD 21

Después de ver los tres vídeos anteriores y analizar con atención los problemas que te presenta tu libro de texto en las páginas 102, 103, 104 y 105, transcríbelos y compréndelos. Asimismo contesta las preguntas que se te piden en la página 108, ¡ tu puedes porque eres el mejor ! :)

Cálculo en Fenómenos Naturales y Procesos Sociales

viernes, 15 de enero de 2021

TERCERA SEMANA DE ACTIVIDADES